Vele jaren geleden werkte ik bij Telxon met Dave Strong. Dave had gezegd dat zijn grootvader een truc zou uitvoeren waarbij hij iemand in de kamer om een nummer zou vragen. Hij zou dan heel hard nadenken en langzaam maar zeker een 4x4-matrix bouwen. Elke rij, kolom en diagonaal van getallen zou precies het gekozen getal zijn. Dit type figuur wordt een magisch vierkant genoemd.
Dave's grootvader was Walter Wills Strong. Hij was tijdens de Eerste Wereldoorlog bij de YMCA in Europa en zou de troepen versteld doen staan met deze mentale truc. Toen Dave mij het probleem voorlegde, vond ik een oplossing voor het creëren van het magische basisvierkant met de nummers 1 tot en met 16, wat neerkomt op 34. Dave's grootvader was echter in staat om voor elk nummer een magisch vierkant te bedenken. Nu, vele jaren later, heeft Dave de formule ontdekt voor hoe zijn grootvader deze truc deed. Met een beetje oefening kun je de truc zelf leren. De tip van deze week gaat over magische vierkanten. Het toont het proces dat door Dave's grootvader wordt gebruikt. Het biedt ook twee Excel-bestanden. Een Excel-bestand berekent snel een magisch vierkant voor elk getal. Het andere Excel-bestand probeert de bezwerende aard te repliceren van de uitvoering die Dave's grootvader moet hebben gegeven,compleet met een bebaarde tovenaar.
De theorie voor een eenvoudig magisch vierkant
Een 4x4-matrix met getallen heeft twee diagonalen. In de onderstaande afbeelding bestaat één diagonaal uit de 4 gele vierkanten. Een diagonaal bestaat uit de 4 rode vierkanten. De overige 8 randcellen zijn groen gekleurd.
Om een magisch vierkant voor 34 te construeren, schrijft u eenvoudig de getallen van 1 tot en met 16 op volgorde in. Er is een makkelijke wending. Als u op het punt staat een getal in een geel of rood vierkant te schrijven, moet u het getal in de cel schrijven die diagonaal tegenover dat vierkant staat. De 1 die in de linkerbovenhoek zou komen, valt bijvoorbeeld op een geel vierkant. De cel schuin tegenover dit vierkant is eigenlijk het 16e vierkant, in de rechter benedenhoek. In plaats van de 1 in het vierkant linksboven te schrijven, schrijf je deze in het vierkant rechtsonder.
De volgende twee cijfers, 2 en 3, zouden in groene vierkantjes vallen, dus schrijf ze op hun normale plaats. Het cijfer 4 zou in een rood vierkant vallen, dus in plaats van het in de rechterbovenhoek te schrijven, schrijft u het cijfer 4 in de linker benedenhoek.
Het cijfer 5 wordt op de juiste plaats geschreven. 6 en 7 moeten diagonaal worden verplaatst en 8 wordt op de juiste plaats geschreven.
Ga door met dit patroon voor de nummers 9 tot en met 16. Je krijgt uiteindelijk een eenvoudig magisch vierkant dat in alle richtingen 34 is
Een interessante draai
Dave's grootvader had hier een beetje een draai aan. Voor Dave's grootvader had hij de tegenovergestelde regel. Alles wat op een rood of geel vierkant viel, werd op de juiste plaats geschreven. Alles wat op een cel met een groene rand viel, werd in het diagonaal tegenoverliggende vierkant geschreven. Zijn basisvierkant zou er zo hebben uitgezien.
Ik stel voor dat je een van de twee bovenstaande patronen leert en je eraan houdt. Ik zal het patroon gebruiken waarbij getallen in de rode of gele diagonalen diagonaal tegenover hun normale locatie staan.
Een magisch vierkant maken voor elk nummer
Het geheim van Dave's grootvader was om zijn startnummer aan te passen. Hij gebruikte een berekening in zijn hoofd om een ander startnummer dan 1 te berekenen. Als je nadenkt over de wiskunde, bestaat elke som in het magische vierkant uit 4 cellen. Als je één aan elke cel zou toevoegen, zou het magische vierkant in totaal 38 zijn, omdat alle 4 de cellen zouden worden opgehoogd met 1. Hier is een magisch vierkant gemaakt met de gehele getallen van 2 tot en met 17 in plaats van 1 tot en met 16. Het totaal is 38 in plaats van 34. Alle andere logica blijft hetzelfde.
De sleutel tot het maken van een magisch vierkant dat optelt bij elk getal, is door het startnummer te variëren. Met een beetje algebra kun je begrijpen waarom het startnummer deze formule volgt:
((Desired Number - 34) / 4 ) + 1Hier is de Excel-werkmap om elk gewenst Magic Square te maken: AnyMagicSquare.xls.
Magische vierkante genie
Deze werkmap maakt gebruik van Excel VBA-macro's. Om de geest te laten werken, moet u macro's toestaan om te worden uitgevoerd wanneer u deze werkmap opent. Volg deze stappen voordat u de werkmap downloadt om macro's in te schakelen.
- Open Excel
- Selecteer in het menu Extra> Macro> Beveiliging
- Wijzig de instelling in Medium
- Download en open de werkmap
- Terwijl de werkmap wordt geopend, krijgt u een melding dat macro's aanwezig zijn. Kies om in te schakelen.
Ik heb dit programma geschreven om de uitvoering van Dave's grootvader te simuleren. Hoewel het niet zo indrukwekkend is als iemand die de wiskunde persoonlijk met een potlood en een papier doet, geeft het je toch een idee van hoe de uitvoering zou verlopen. Klik op de geest om te starten en hij zal je om een nummer vragen. De geest denkt dan na over het probleem.
De geest begint langzaam getallen in te vullen.
Als rijen zijn voltooid, lichten de rij- en kolomtotalen op om aan te geven dat de rijen kloppen.
Uiteindelijk krijgt de geest het juiste vierkant en biedt aan om er nog een te doen.
Download een gezipte versie van Magic Square Genie.
Een topje van de hoed voor Dave Strong en zijn grootvader Walter Wills Strong voor het doorgeven van deze techniek.
Voor meer informatie over het gebruik van VBA om Excel-problemen te automatiseren, bekijk VBA en macro's voor Microsoft Excel, geschreven door Bill Jelen en Tracy Syrstad.
Update van dec 2005
Een andere methode die alleen gehele getallen gebruikt
In november 2005 schreef Ray Battersby dat er een manier moet zijn om een magisch vierkant te maken voor elk getal boven de 30 met alleen gehele getallen zonder decimalen. Ray ontdekte dat je een tot vier specifieke cellen in de matrix kon toevoegen. In het Magische Vierkant voor 34, rangschik de getallen in numerieke volgorde en neem elke andere cel, te beginnen met de laagste. In de onderstaande afbeelding identificeerde Ray de cellen die 1, 3, 5 en 7 bevatten.
Om dit te veranderen in een magisch vierkant voor 35, voegt u er een toe aan elk van de gele cellen.
Om de methode van Ray te gebruiken, trekt u 30 af van het gewenste resultaat. Deel dat getal door 4. Het gehele deel wordt het startcijfer en de rest wordt het getal dat u aan de vier gele cellen toevoegt. Om bijvoorbeeld een magisch vierkant te maken voor 33:
- 33-30 is 3
- 3 gedeeld door 4 is 0 met een rest van 3
- Het startnummer is 0, zoals weergegeven als het tussenresultaat hieronder
- Voeg 3 toe aan elk van de gele cellen zoals weergegeven in het eindresultaat hieronder
Zoals Ray opmerkt, betekent dit dat sommige cijfers in de matrix worden herhaald.
Met dank aan Ray voor het delen van deze methode.
Update van jan. 2008
Richard Letsinger schreef erin om op te merken dat de methode van Ray zou werken voor elk geheel getal, positief of negatief. De methode is niet alleen beperkt tot gehele getallen boven de 30.
